6.3 Theorie

Inleiding

Napoleon zei: Je kunt geen veldslagen winnen als je er belachelijk uitziet op een paard.

Voor de komst van Napoleon (die het SI systeem invoerde) bestond in Nederland de “Dagwand”. De Dagwand is de oppervlakte die in 1 dag omgeploegd kon worden door een boer met een os en een ploeg. Het bijzondere aan de dagwand is dat de oppervlakte die 1 dagwand voorstelde, gelijk was aan een kwart van een bunder. Die oppervlakte is tevens gelijk aan 100 vierkante roede.

Duidelijk is anders. Je begrijpt dat de komst van het van het SI-stelsel een hoop problemen oploste.

Grootheden, eenheden, scalars en vectoren

Alle grootheden die je kunt meten hebben we tot nog toe samengevat met 3 zaken:

grootheid = getal x eenheid.

Bijvoorbeeld: Afstand = 25 x 1 meter.

Een grootheid is dus iets dat je kunt meten. Als je dat doet, vind je dus een getal en een eenheid. Dat idee kun je uitbreiden met het begrip richting.

Niet alle grootheden hebben een richting. Grootheden die geen richting hebben worden scalars genoemd. Voorbeelden van een scalar zijn bijvoorbeeld afstand of temperatuur.

Andere grootheden hebben juist wel een richting. De grootheid snelheid bijvoorbeeld: een snelheid van 5 m/s naar links is iets heel anders dan een snelheid van 5 m/s naar rechts.

Ook krachten hebben een richting. Als je aan het touwtrekken bent is het team die de meeste kracht uit kan oefenen op het koord de winnaar. Grootheden die een richting hebben worden vectoren genoemd.

Vectoren tekenen

Om goed te kunnen begrijpen hoe een situatie in elkaar steekt gebruik je vaak een diagram. We zijn er al veel tegengekomen; grafieken, bron-ontvangerschema’s, stroomdiagrammen, enzovoort.

vectorvoorbeeldEen nieuw soort diagram is het vectordiagram. Met een wiskundige truc teken je dan alle krachten in een situatie. Een kracht wordt dan voorgesteld als een pijl: zo’n pijl wordt een vector genoemd. En dat is, verwarrend genoeg, precies dezelfde naam als je hierboven hebt gelezen.

In een vector vat je alles samen over die kracht: hoe langer de pijl, hoe groter de waarde. De richting van de pijl geeft aan in welke richting de kracht werkt. En het startpunt van de pijl is de plek waar de kracht op wordt uitgeoefend. Dit heet een aangrijpingspunt.

  • Een vector is een voorstelling van een grootheid met een richting, bijvoorbeeld kracht.
  • Een vector heeft een richting, een grootte en aangrijpingspunt.

Voorbeeld 1: Een enkele kracht op een bal.

Een bal wordt weggeschopt. Op deze bal wordt bijvoorbeeld een kracht van 20 Newton uitgeoefend. Teken de situatie.
Vectorbal

Een enkele kracht die wordt uitgeoefend op een bal.

In de afbeelding hierboven zie je de bal liggen.

De richting van de van de kracht is in dit geval naar links.

De lengte van de pijl zegt iets over hoe groot de kracht is. We gebruiken daarvoor een schaal: 1 cm = 5 Newton.

Hier wordt kennelijk een kracht uitgeoefend op de bal. Het is niet duidelijk waar dat aangrijpingspunt is. Daarom start de pijl in het midden van de bal.

 

Voorbeeld 2: Een bal valt met zijwind.

Een bal valt naar beneden. Die beweging wordt veroorzaakt door een zwaartekracht van 9 Newton. De wind blaast er vanaf de rechterkant met een kracht van 3 Newton tegenaan. Teken de situatie.

vectorbalvaltmetwindOp de bal werken nu twee krachten. Ook de schaal van deze figuur is anders: 1 cm komt overeen met 2 Newton.

De zwaartekracht is 9 Newton. Die vector moet je dan tekenen als een pijl van 9 / 2 = 4,5 cm.

De zijwind levert een kracht van 3 Newton. Die vector is dan 3 / 2 = 1,5 cm groot.

Zonder wind zou de bal recht naar beneden vallen. Vanwege de wind wordt de bal opzij geblazen. De bal zal nu schuin naar beneden vallen, volgens de gestippelde vector. Meer hierover verderop in de tekst!

Vectoren combineren

Een vector is een wiskundig begrip. Dat betekent dat je er dingen mee kunt doen die je niet zomaar met een echte kracht kunt doen: je mag vectoren verplaatsen. Het doel daarvan is dat we een hele goede voorspelling willen doen over de werkelijkheid.

Dus eerst een paar wiskunderegels over vectoren, op een natuurkundige manier:

  • Een vector mag je verplaatsen: de richting en de lengte van de vector moeten wel hetzelfde blijven.
  • Je kunt vectoren optellen met de kop-staart methode.

Om dat te begrijpen de volgende voorbeelden.

Voorbeeld 1a: Touwtrekken

In het eerste voorbeeld zie je twee touwen die om een kist gebonden zijn. Aan ieder touw wordt door een team mensen getrokken in tegenovergestelde richting.

Team B is sterker dan Team A. Dat zie je aan de lengte van de vectoren die zijn getekend. De vector van Team A is 4 hokjes lang; dat betekent een kracht van 4 . 50 = 200 N.

De vector van Team B is 6 hokjes lang. Dat is een stelt een kracht voor van 300N.

Voorbeeld 1 kistaJe mag een vector verplaatsen, als je de richting en de lengte gelijk houdt. We verplaatsen nu de vectoren zodat ze aangrijpen in het midden van de kist.

De vectoren starten nu allebei in hetzelfde punt. We hebben deze situatie nodig om verder te kunnen werken met vectoren.

Voorbeeld 1b. Team A trekt in een andere richting

Maar wat als Team A in een andere richting gaat trekken? Bijvoorbeeld recht naar beneden?Vectoren1

Eerst gebruiken we de eerste regel: Vectoren mag je verplaatsen. De oorspronkelijke vector laat je dan staan, de verplaatste vector geef je aan met een stippellijn.

In de volgende afbeelding is dat gedaan. De kop van de vector van Team B (de pijlpunt) is nu verbonden met de staart (het stipje) van de vector van Team A.

Vectoren2Je gevoel zegt eigenlijk al dat de kist nu schuin naar rechtsonder begint te bewegen. Maar die richting kun je ook precies bepalen. Daarvoor teken je de somkracht. De somkracht Fsom start nu midden in de kist, en eindigt op de plaats die de verplaatste vector aangeeft.

Doordat je alles op schaal hebt getekend kun je nu ook achterhalen hoe groot de somkracht is. In dit geval is de somkracht 7,2 hokjes lang. Dat betekent dus dat de somkracht 7,2 x 50 = 360 Newton is.

Voorbeeld 1c: Team B trekt ook in een andere richting

Het maakt niet uit welke vector je verplaatst: Zolang je de richting en de grootte van de vector maar gelijk houdt.

Vectoren3In het volgende voorbeeld gaan zowel Team A en Team B in een andere richting trekken. Ook nu volgen we de regels over het verplaatsen van vectoren.

De somvector heeft een lengte van 3,5 hokje. Die stelt dus een kracht voor van 3,5 x 50 = 175 Newton.

De somkracht

Vectoren4
3 krachten bij elkaar optellen: Fa en Fb heffen elkaar op, blijft alleen Fc over.

Je hebt nu geleerd welke regels er gelden als je vectoren bij elkaar wilt optellen. De somvector die dan ontstaat stelt de somkracht voor. Dat betekent dat de kist begint te bewegen alsof er een kracht op werkt die even groot is als de somkracht. Een goede start over dat idee zie je in de afbeelding hiernaast.

Meerdere krachten optellen.

Ook als er meer dan twee krachten op een voorwerp werken, kun je nog steeds dezelfde regels toepassen.

Hieronder zie je hoe je zo’n situatie kunt oplossen: In de eerste afbeelding zie je hoe de beginsituatie eruit ziet. Vervolgens wordt vector Fc kop-aan staart gelegd aan vector Fa. De derde vector, Fb leg je dan vervolgens kop-aan staart aan het einde van de verplaatste vector.

Figuur a. De oorspronkelijke situatie.
Vectoren6
Figuur b. Kop-aan-staart leggen.
Vectoren7
Figuur c. Somvector tekenen.

Pythagoras

Als twee krachten een hoek maken van 90 graden, dan kun je de stelling van Pythagoras gebruiken om de somkracht te berekenen.

Pythagoras

vectoren8Kijk maar naar het volgende diagram:

De lengte van Fsom is nu gelijk aan

Fsom2=FA2 + FB2

De lengte van Fsom in het diagram hiernaast is gelijk aan 500 Newton:

Fsom2 = 3002 + 4002

Fsom2 = 90 000 + 160 000

Fsom2 = 250 000

Fsom = 500 Newton

Oefening is alles. Aan de slag dus met de opdrachten!